ગયા અંકનો સવાલ ઃ
પૅલિન્ડ્રૉમ એ એક મજાનો વિષય છે. સીધું અથવા ઊલટું વાંચતાં એક જ વંચાય એવો શબ્દ અથવા વાક્ય દા.ત. નવજીવન, જા રે બાવા બારેજા, ૧૨૨૧ વગેરે.
આજની પઝલ આવા પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યાન્કો પર છે.
જો કોઈ સંખ્યા સીધું અથવા ઉલટું વાંચતા એની કિંમત ના બદલાય એવી સંખ્યા એટલે પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા. અમે એક સંખ્યા લીધી, ૧૬૫. આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૫૬૧. આ બંનેનો સરવાળો કરતા નવી સંખ્યા મળી ૭૨૬. ફરીથી આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૬૨૭. આ બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા (૭૨૬ + ૬૨૭) નવી સંખ્યા મળી ૧૩૫૩. જેમાં એની ઉલટી સંખ્યા ૩૫૩૧ ઉમેરતા મળે છે ૪૮૮૪. જે એક પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા છે.
ટૂંકમાં,
165
561 +
--------
726
627 +
-------
1353
3531 +
--------
4884
અમને થયું લાવો બીજી કોઈ પણ ત્રણ આંકની સંખ્યા લઇ આ નુસખો અજમાવી જોઇએ. અમે એક ત્રણ આંકની સંખ્યા લીધી અને એ સંખ્યામાં અણી ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી. અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. જેમાં તેની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરતાં અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. ત્રીજી વખત એ સંખ્યા અને એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી તો અમને ચાર આંકની સંખ્યા મળી પણ એ પૉલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા નહોતી. માટે અમે ચોથી વખત એ સંખ્યામાં એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી, હા આ વખતે અમારો મેલ પડયો ! ઉપરના ઉદાહરણમાં ત્રણ વખત સરવાળો કરતાં પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા મળી ગઈ હતી પણ આ વખતે અમારે ચાર વખત સરવાળો કરવો પડયો. તો વાંચકો તમારે શોધવાનું છે કે ક્યાં ત્રણ અંકના નંબરથી અમે અમારો નુસખો ચાલુ કર્યો હશે ?!
જવાબ ઃ
પહેલાં ઉકેલ જોઈ લઈએ આ ખૂબ જ રસપ્રદ કોયડાનો !
ત્રણ અંકની સંખ્યા અને તેની ઉલટી સંખ્યા ઉમેરતાં ફરીથી ત્રણ આંકની સંખ્યા મળે છે જે પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા નથી.
માટે,
abc
cba +
-------
def
fed +
-------
ghi
અહીં def એ પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા નથી માટે d અને f વચ્ચેનો તફાવત ૧નો જ હોય શકે. (સોચો !)...(૧)
abc ની સુંથી નાની શક્ય કિંમત ૧૦૨ શક્ય છે...........(૨)
(૧) અને (૨) પરથી, માટે def ની ઓછામાં ઓછી કિંમત ૪૦૩ છે. માટે d + f ની ઓછામાં ઓછી કિંમત ૭ છે.
હવે ghi પણ ત્રણ અંકની પણ પેલીન્ડ્રોમ ના હોય એવી સંખ્યા છે. માટે i = d + f ની કિંમત વધુમાં વધુ ૮ છે. પણ d અને f સરખા નહિ હોવાથી તેનો સરવાળો બેકી સંખ્યામાં ના હોય શકે. માટે i ની કિંમત ૭ છે.
પ્રથમ abc < cba લેતાં,
a ની કિંમત ૧ અને c ની કિંમત ૨ છે.
1b2
2b1 +
-------
4e3
અહીં b ની કિંમત ૫ કે તેથી મોટી હોય તો જ આ સમીકરણ ખરું છે.
હવે આગળનું સ્ટેપ વિચારતાં,
4e3
3e4 +
--------
8h7
ઉપર મુજબ અહીં પણ e ની કિંમત ઓછામાં ઓછી ૫ હોવી જોઈએ. માટે b ની શક્ય કિંમતો ૮ કે ૯ જ રહે છે. પણ b = ૮ લેતાં ચાર વખત સરવાળો કરતાં પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા મળતી નથી, માટે b = ૯ હોવી જોઈએ.
આમ a = ૧, b = ૯, અને c = ૨. abc=192.
192
291 +
--------
483
384 +
-------
867
768 +
------
1635
5361 +
--------
6996
હવે બીજો કેસ, જો abc < cba ના હોય તો ?! તો જવાબ ૨૯૧ મળશે. આમ કુલ બે જવાબ મળ્યા ઃ ૨૯૧ અથવા ૧૯૨.
ઘણા બધા વાંચકોએ પ્રયત્નો કર્યા અને ઘણા વાંચકોએ સાચો જવાબ પણ આપ્યો. પણ જરૃરી વિવરણ આપવાનું મોટા ભાગે બધા ભૂલી ગયા ! માત્ર નિયમિત વાંચક ફાલ્ગુની દોશીએ થોડુંક લોજીક લખી મોકલ્યું. પણ અમને એક બહુ સરસ જવાબ મળ્યો રાજકોટથી અંકુલ તન્નાનો. જેમને એક c++ પ્રોગ્રામ રાતોરાત બનાવી કાઢ્યો અને અમને એમના જવાબો પ્રોગ્રામ સાથે બીજા જ દિવસે મોકલી આપ્યો !
ખૂબ અભિનંદન બધા ખરા વાંચકોનો પણ અમને માત્ર જવાબ કરતાં જવાબ શોધવાની રીતમાં વધુ રસ છે !
End Game
અમારો ચનો એક ટ્રેનના પુલ પર ચાલતો જતો હતો. પુલના મધ્યબિન્દુથી માત્ર ૧૦ મીટર દૂર હતો અને એણે પાછળથી ટ્રેન આવવાનો અવાજ સાંભળ્યો. એ સમયે પાછળથી આવતી ૯૦ કિ.મી./કલાકની ગતિએ આવતી ટ્રેન પુલની કુલ લંબાઈ જેટલી આ પુલથી દૂર હતી. ચનો ઝપાટાભેર પાછો વળી છેડા તરફ એટલે કે ટ્રેન તરફ દોડયો. પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી અને ચનો બચી ગયો. જો ચનો અવાજ સાંભળીને પાછો ના વળ્યો હોત અને એટલી જ ગતિથી આગળ ચાલ્યો હોત તો ટ્રેન સાથે પુલના છેડાથી દૂર (પુલ પર) ૮ મીટર અંતરે અથડાયો હોત. તો સુજ્ઞા વાંચક મિત્રો આ પુલની લંબાઈ કેટલી ?
જવાબ ક્યાં મોકલશો ?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.